期望和方差公式

更新日期：2026-09-15 19:27:10

标题

期望和方差公式

内容

在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均取值，而方差则衡量了其取值的离散程度。以下是对这两个概念及其公式的总结，并通过表格形式清晰展示。

一、期望（Expected Value）

定义：

期望是随机变量在大量重复试验中取值的平均结果，也称为均值。

数学表达式：

对于离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则期望为：

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i

对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则期望为：

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx

二、方差（Variance）

定义：

方差表示随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据的波动性。

数学表达式：

方差通常用 $ \text{Var}(X) $ 表示，其计算公式为：

\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2

也可以简化为：

\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

三、常见分布的期望和方差公式

分布类型	概率质量/密度函数	期望 $ E(X) $	方差 $ \text{Var}(X) $
两点分布（伯努利）	$ P(X=1)=p, P(X=0)=1-p $	$ p $	$ p(1-p) $
二项分布 $ B(n,p) $	$ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $	$ np $	$ np(1-p) $
泊松分布 $ P(\lambda) $	$ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $	$ \lambda $	$ \lambda $
均匀分布 $ U(a,b) $	$ f(x) = \frac{1}{b-a} $	$ \frac{a+b}{2} $	$ \frac{(b-a)^2}{12} $
正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $	$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $	$ \mu $	$ \sigma^2 $
指数分布 $ Exp(\lambda) $	$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $	$ \frac{1}{\lambda} $	$ \frac{1}{\lambda^2} $

四、总结

- 期望是随机变量的“中心位置”，反映平均值；

- 方差是随机变量的“离散程度”，反映数据的稳定性；

- 不同的概率分布具有不同的期望和方差公式，掌握这些公式有助于更好地理解随机现象；

- 在实际应用中，期望和方差常用于风险评估、预测分析、金融建模等领域。

通过上述内容和表格，可以系统地了解期望和方差的基本概念及常见分布的对应公式，便于学习和应用。

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